Теорема о равномощности подмножеству

Подмножество $B \subseteq A$ называется **собственным**, если $B \neq A$

Множество $A$ бесконечно тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторому своему собственному подмножеству.

Сначала заметим, что не существует биекции $n$-элементного множества на $m$-элементное множество при $n > m$ (принцип Дирихле). $\Large{\impliedby}$ Если $A$ равномощно собственному подмножеству $A$, то $A$ бесконечно. $\Large{\implies}$ Пусть $A$ бесконечно, $a \in A$. Построим биекцию $A$ на его подмножество $A \setminus \{a\}$: 1. По лемме о счетном подмножестве, выделим $\{a_{i}\}_{1}^{\infty} \subseteq A$, начав с $a_{1} = a$. 2. Определим функцию $f$: $$ f(b) = b \text{ для всех } b \in A \setminus \{a_{i}\}_{1}^{\infty} $$ $$ f(a_{i}) = a_{i+1} \text{ для всех } i \in N $$ 3. $f$ — искомая биекция. $\square$